Трикутні та квадратні числа та їх властивості
Багатокутні
числа
Натуральний ряд чисел починається з 1, а всі інші числа
отримуємо додаванням до попереднього числа по одиниці. Природно прийти до думки
скласти таку числову послідовність, яка починається з одиниці і утворює
наступні числа додаванням до попереднього числа по 2, по 3, по 4 і так далі…
Таким чином утворюються послідовності чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …… n …..
1, 3, 5, 7, 9, 11,
13, 15, 17, ….
2n-1….
1,
4, 7, 10, 13, 16, 19, 21, ….. 3n-1….
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, …..4n-1….
і так далі.
Знайдемо суми одного , двох, трьох, чотирьох і так далі…
Утворяться такі послідовності:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ….. трикутні
числа.
1, 4, 9, 16 , 25, 36, 49,….. квадратні
числа.
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, …. п’ятикутні числа.
1, 6, 15, 28, 45,
66, 91, … шестикутні числа
і так далі
Ці числа зустрічаються у піфагорійців (VI в. до н. е.) і
потім у подальших грецьких математиків (Ератосфен, Гипсикл). Особливо детально вивчали їх математиків перших століть 158
нашої ери: Нікомах, Теон Смірнській (II в.) і їх сучасники. Цим захоплювався і
батько грецької алгебри Діофант III-IV ст. н. е.), що написав про них цілу книгу, що дійшла до
нас.
Незалежно від грецьких математиків багатокутними числами
займалися індійські і китайські математики.
Грецьких математиків знайшли різні властивості
багатокутних чисел, які в більшості випадків доводилися на фігурах.
Теорема. Довести, що довільне восьмикутне число рівне сумі шести
(n - 1)-х трикутних чисел плюс n.
Правильність теореми видно з таблиці: друге восьмикутне
число 8 = 6∙1 + 2; третє: 21 =6∙3 + 3, четверте: 40 = 6 ∙ 6 + 4, п'яте: 65 = 6∙10 + 5 і так далі.
Для доказу досить побудувати креслення і сказати, за
зразком індійського керівництва: дивися!
Дуже важкі теореми про багатокутні числа доводили П’єр
Ферма (XVII в.), Леонард Ейлер і Лагранж (XVIII в.), Карл Гаус (XIX в.) і ін.
Ці теореми грали і грають велику роль у вищій арифметиці.
Найважливішою з цих теорем є теорема, яку Ферма назвав
«золота»: всяке натуральне число є або трикутне або
сума двох або трьох трикутних чисел; або квадратне або сума двох, трьох або чотирьох
квадратних чисел; або п'ятикутне або сума двох, трьох, чотирьох або п'яти п'ятикутних чисел і так далі. Ферма не міг дати доведення цієї теореми, що слідує, за
його словами, «з багатьох глибоко прихованих таємниць чисел». Пройшовши через
руки Ейлера, Лагранжа, Лежандра і Гауса, теорема Ферма була повністю доведена
французьким математиком Коші (1813-1915 рр.). З цієї теореми витікають багато
важливих властивостей пропозиції
теорії чисел.
Зазначимо, що в європейській математиці зустрічаються ще
фігурні числа, цими числами у європейських математиків називалися коефіцієнти
членів ступенів бінома (а+b)n при
n = 1, 2, 3, 4... , тобто числа з трикутника Паскаля.
Трикутні
числа
Як відомо,
трикутними називаються числа,
утворені шляхом послідовного
підсумовування чисел натурального ряду,
тобто числа
1=1
1 3 6
10 15 21
1+2 =3
2 5 9
14 20
1+2+3= 6
4 8 13
19
………………
7 12 18
1+2+3 + …… + n = 0,5n(n+1) 11 17
………………………………… 16
Трикутне
число рівне половині добутку двох сусідніх чисел натурального ряду, тобто Тn = 0,5n(n+1).
Позначають трикутні числа таким чином:
Т1 = 1, Т2 = 3, Т3 =
6, Т4 = 10, Т5 = 15, Т6 = 21, Т7 = 28, Т8
= 36, Т9= 45, Т10 = 55, Т11 = 66, Т12 = 78,
Т13= 91, Т14 = 105, … , Тn = 0,5n(n+1), …
Трикутні числа володіють безліччю цікавих властивостей.
Так, сума двох послідовних трикутних чисел рівна
квадратному числу
Тn-1 + Тn = 0,5n(n-1) + 0,5n(n+1) = 0,5n2 + 0,5n2 + 0,5n - 0,5n = n2. (1)
Або
Тn = n2 – Тn-1.
а їх різниця
Тn+1 – Тn = 0,5n(n-1) - 0,5n(n+1) = 0,5n2 – 0,5n2 + 0,5n - 0,5n = n. (2)
Або
Тn = Тn -1 + n .
Квадратні числа
Квадратні числа числами вважають
результат множення натурального числа на самого себе, іноді цю дію означають,
як другу степінь (квадрат) натурального
числа. Приклади таких чисел:
К1 = 1, К2 = 4, К3 = 9, К4 = 16, К5
= 25, К6 = 36, К7 = 49, К8 = 64, К9= 81, К10 = 100,
К11= 121, К12 =144, К13= 169, К14
=196, … , Кn = n∙n = n2, …
1 4
9 16 25
2 3
8 15 24
5 6
7 14 23
10 11 12
13 22
17 18 19
20 21
Зв'язок між трикутними та квадратними числами
Трикутні і квадратні числа зв'язані між собою багатьма співвідношеннями.
Вкажемо тільки наступні, знайдені нами залежності:
3×Тn – Тn-1 + 1= (n +
1)2 = Кn+1
(3)
2×Тn×Т2n / Т2n-1 = n2 = Кn (4)
Т2n(n+1) / Тn = (2n +
1)2 = К2n+1 (5)
Із формули (5), наприклад, при n
= 5 маємо:
( Т60 / Т5 )- 1 = 112.
Широко відома так звана формула Діофанта
8×Тn + 1 =
(2n + 1)2,
або
Тn =
0,125((2n + 1)2 - 1) =
0,125К2n+1 –
0,125 (6)
Здавалося б, трикутні числа та квадрати взаємозв'язані
вельми просто. Але знаменитий математик Л. Ейлер (1707- 1783) поставив таке
завдання: знайти формулу для трикутних чисел, що одночасно є квадратами. Що
такі числа є, легко переконатися. Так, вже Т1 = 1 = 12, Т8 = 36 = 62.
А далі? Ейлер дав формулу
для отримання квадратних
чисел (піднесену нами в квадрат):
Кn = ((3 + 21,5)n – (3 –21,5)n )2 × 2-2,5 (7)
При n =1 і n = 2 з неї отримуємо вже відомі нам числа 1 і 36, при n = 3 маємо К3 = 32, при n = 4, К4 = = 2042 і т.д.
Формула (7) здалася Ейлерові дуже складною, і він
запропонував іншим ученим спростити її або знайти іншу, простішу, але висловив
при цьому припущення, що це, очевидно, найпростіша зі всіх можливих формул.
Мабуть, це так і є, тому що до цих пір ніхто не запропонував більш простій
залежності.
Про представлення трикутних
чисел квадратами
А що можна сказати про суму трьох і чотирьох послідовних трикутних чисел?
Чи може така сума бути квадратом? Це завдання, не
дивлячись на її простоту, до цих пір не ставилося. Тим часом такі трійки і
четвірки трикутних чисел існують. Так, маємо трійки послідовних
трикутних чисел:
Т5 +
Т6 + Т7 = 82.
Т14
+ Т15+ Т16 = К19 = 192,
або
105 + 120
+ 136 = 361 = 192
Т63
+ Т64 + Т65 = К79 = 792
Т152
+ Т153 + Т154 = К188 = 1882 .
Можна відзначити, що квадратні числа, що є одночасно
сумою трьох послідовних трикутних чисел, повинні бути також виду 3Тn + 1.
Тому
Тn-1 + Тn + Тn+1 = 3Тn + 1.
Існують і четвірки послідовних
трикутних чисел, в сумі ті, що дають квадратне число. Наприклад:
Т5 +
Т6 + Т7 + Т8 =
К10 = 102
Т39
+ Т40 + Т41 + Т42 = К58 = 582
Т237
+ Т238 + Т239 +
Т240 = К338 = 3382
Т1391
+ Т1392 + Т1393 +
Т1394 = К338 =
19702
Ці формули, втім, як і попередні, можуть бути
узагальнені, наприклад, таким чином:
Т3к-1 + Т3к + Т4к -1 + Т4к = (5к)2
= (3к)2 +(4к)2 . (8)
При к =1 звідси маємо
Т2 +
2Т3 + Т4 = 52 або 3 + 6 + 6 + 10 = 25 = 52,
при к=2 отримаємо приведену раніше формулу, при к = 7 маємо
Т20
+ Т21 + Т27 + Т28 = 352
і т.д.
Звернемо увагу на праву частину формули (8). Вона
відображає факт, що вже наголошувався (див. формулу (1)): сума двох послідовних
трикутних чисел рівна квадратному числу. Але таким чином знаходження загальної
формули для четвірок трикутних чисел виявляється безпосередньо взаємозв'язано з піфагоровимі числами! А саме: якщо піфагорійці знайшли тотожність, що охоплює
трійки чисел, в яких числові значення катета і гіпотенузи є сусідніми числами в
натуральному ряду:
(2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 =
(2n2 +
2n + 1)2 (9)
де n =
1,2,3,4 то нам
треба знайти піфагорові трійки, у яких послідовними числами є величини катетів, т. е
необхідно знайти числа, що задовольняють рівнянню а2 + (а + 1)2
= с2.
Такі трійки піфагорових чисел є. Ось вони:
32 +
42=52,
202
+ 212=292,
1192+1202=1692
і т.д.
Формула для
знаходження квадратних чисел, що є
сумою двох послідовних
квадратних чисел, має наступний вигляд:
Сn = 2 -1,5×((1+ 20,5)2n-1 – (1- 20,5)2n-1) (10)
Числова послідовність, що виходить звідси при n = 1,2,3
така:
1, 5, 29, 169, 985, 5741 ... . (11)
А формула для знахождення всіх четвірок послідовних
трикутних чисел, в сумі тих, що дають квадратне число, така:
Кn = ( 2 -0,5×((1+ 20,5)2n-1
– (1- 20,5)2n-1))2 (12)
Числова послідовність сум таких четвірок має вигляд:
22,
102, 582, 3382,
19702,114822 …. (13)
Відзначимо
ще, що для всіх трьох послідовностей, що розглядаються тут, описуються
формулами (7), (10) і (12), справедливе одне і те ж рекурентне співвідношення
аn+1 = 6аn – аn-1,
причому для послідовності 1, 6, 35,
204, 1189..., загальний член якої описується формулою Ейлера (7)
ао = a1 =1,
для послідовності (11)
ао= a1 =1
і для
послідовності (13) (але без піднесення кожного члена в квадрат)
ао = a1 =2.
Трійки трикутних чисел,
Т5 +
Т6 + Т7 = 82.
Т14
+ Т15+ Т16 = К19 = 192,
Т63
+ Т64 + Т65 = К79 = 792
Т152
+ Т153 + Т154 = К188 = 1882,
є членами числової зворотної послідовності
1, 2, 8, 19, 79, 188, 782...
Будь-який член цієї послідовності, що стоїть на непарних
місцях, можна знайти по формулі
Кn
= 4-1×6-0,5(39 + 16×60,5)(5 + 2×60,5)n – (39 – 16×60,5)(5 – 2×60,5)n )
(14)
де n = 0, 1, 2, 3...
Будь-який член послідовності, що стоїть в ній на парних
місцях, знаходиться по формулі
Кn
= 4-1×6-0,5(9
+ 4×60,5)(5
+ 2×60,5)n – (9 – 14×60,5)(5 – 2×60,5)n ) (15)
де n = 0, 1, 2,
3...
Формулі (14) відповідає рекурентне співвідношення
а2n+3
= 10а2n+1
– a2n-1.
a1 = 1, a3 = 8, а5 = 79, а7 = 782; а9 = 7741
Для чисел, що стоять на парних місцях послідовності,
рекурентне співвідношення має вигляд:
а2n+4 = 10а2n + 2 – а2n,
а2 = 2, a4 = 19, а6 =188,…
Отже, знайдені формули для обчислення піфагорових чисел, що є
послідовними квадратами, яким рівні катети прямокутного трикутника, а також
трійки і четвірки послідовних трикутних чисел, що в сумі мають квадратне число.
Видно, груп по 5 і по 6 послідовних трикутних чисел квадратами бути не можуть.
Але це питання поки залишається відкритим.
Повертаючись до формули Діофанта (6), відзначимо, що нам
вдалося її узагальнити таким чином:
(kn + 1)2 = 8(k-1)Тn+((k-2)n – 1) 2. (16)
Дана формула дозволяє представити будь-яке квадратне
число у вигляді суми меншого квадрата і кратного трикутному числу числа.
З (16) якщо k = 1 маємо
тривіальну тотожність
(n+1) 2 = (- n -
1)2 ,
при k =2 отримуємо залежність Діофанта (6),
при k =3 маємо
(3nа + 1)2 = 16Tn + (n -
1)2,
при к =
4
(4nа + 1)2 = 24Tn +
(2n -
1)2
і т. д.
Відповідно до формули (16) квадратні числа можуть мати
різне число представлень у вигляді вищезгаданої суми. Причому якщо kn - просте, то число представлень рівне лише двом. Якщо ж kn складене
число, то число уявлень залежить від числа дільників kn. Наприклад,
якщо kn = 35, то маємо наступні розкладання:
(1×35+1)2=8.0.Т35+362,
(5×7+1)2=8.4Т7+202,
(7×5+1)2=8×6 Т5+242,
(35×1 + 1)2=8×34Т1+322.
Як бачимо, при
розкладаннях враховується і
одиниця.
Для простих kn це видно особливо наочно. Так, для
kn = 5 маємо:
(5+1)2
= 62 = (1×5+1)2 = 8×0×Т8+
62 = (5×1 + 1)2 = 8×4Т1 + 22.
На закінчення вкажемо на наступне. Якщо розглядати не
тільки квадратні, а будь-які натуральні числа у вигляді уявлення їх сумою
трикутних чисел і при цьому не вимагати, щоб трикутні числа були послідовними,
то приходимо до знаменитої проблеми теорії чисел, якою займалися Ферма, Ейлер,
Лагранж та інші. Ці математики виявили і показали, що будь-яке
число можна представити у вигляді суми n-кутних
чисел, що складається не більше ніж n
доданків. Зрозуміло, що для представлення квадратного
числа достатньо суми трьох трикутних чисел.
