МАГІЧНІ ПРЯМОКУТНИКИ

МАГІЧНІ ПРЯМОКУТНИКИ

Означення. Клітинковий прямокутник, розміром nxm, називається класичним магічним прямокутником, якщо його клітинки заповнені натуральними числами від 1 до nxm так, що сума усіх чисел в кожному із стовпців однакова, сума усіх чисел в кожному з рядків однакова.

Приклад. Утворимо класичний магічний прямокутник, розміром 2x4, заповнений числами від 1 до 8.

Побудова.  Так сума усіх чисел в кожному із стовпців однакова і рівна 9, сума усіх чисел в кожному з рядків однакова 18. Адже, сума всіх чисел від 1 до 8 складає 8×9:2=36. Тому  в кожному із двох рядків сума мусить бути рівна 36:2=18, а в кожному із чотирьох стовбців ‒ 36:4= 9. 

Так, як для числової послідовності 1, 2, 3, …, 7, 8( вона є арифметичною прогресією і володіє цікавими властивостями)  виконується властивість «суми крайніх»:  1+8=2+7=3+6=4+5=9, то усі стовпчики можна заповнити парами чисел: (1; 8), (7; 2), (6; 3), (4; 5).

Так, як для числової послідовності 1, 2, 3, …, 7, 8 виконується властивість:  1+4 =2+3 =5; 5+8 = 6+7 =13; то маємо заповнення першого рядка четвірками чисел: (1; 4; 6; 7),  і другого рядка: (3; 8; 2; 5),  бо їх суми: 1 + 4 + 6 + 7 = 3 + 8 + 2 + 5 = 18.

1	4	6	7
8	5	3	2

Запитання: Чи вірно, що різних класичних магічних прямокутників розміром 2х4 не менше 24?

Відповідь: Усіх пар для заповнення стовпчиків рівно чотири: (1; 8), (7; 2), (6; 3), (4; 5). Використаємо комбінаторне «правило добутку». Перший стовпчик можна заповнити чотирма способами, тоді для другого стовпчика залишається тільки три пари, після того як заповнені перші два стовпчика, для третього стовпчика залишається тільки дві пари чисел, а вже для останнього стовпчика ‒ одна пара. Всього маємо 4×3×2×1 = 24 способів. Тепер, коли усі стовпчики заповнені, ми можемо, поміняти місцями рядки, і прямокутник залишиться магічним. Отже, 2×24 = 48 магічних прямокутників розміром 2х4 .

Приклад. В клітинковий прямокутник, розміром 3x5, заповнений числами від 1 до 15,

	1
				11

 зображений на малюнку впишіть числа від 2 до 15 за виключенням 11, яке вже вписано, так, щоб виконувались такі умови: сума трьох чисел в кожному із стовпців однакова; сума п'яти чисел в кожному з рядків однакова; сума кожних двох чисел верхньої та нижньої стрічки, які розміщенні симетрично центральної клітинки середньої стрічки також однакова.

Побудова. Сума всіх чисел від 1 до 15 складає 120. Отже, в кожному рядку сума мусить бути 40, а в кожному стовбці ‒ 24.  Суми чисел у всіх п’яти парах клітинок верхнього  та нижнього рядка становлять 80, отже, сума чисел в кожній парі 16. Ця сама сума повинна утворюватись в клітинках, симетричних відносно центру прямокутника. Отже, прямокутник заповнюється таким чином:

5
	1	8	15
				11

У другому стовбчику може бути або 14 і 9, або 13 і 10. Послідовним перебором переконуємося, що єдиний можливий варіант

5	14		7
	1	8	15
	9		2	11

Тепер заповнення будь-якої клітини визначає всі інші. Простою перевіркою знаходимо єдиний варіант

5	14	4	7	10
13	1	8	15	3
6	9	12	2	11

Запитання. Чи існують класичні магічні прямокутники довільних розмірів?

Відповідь: Не для всіх розмірів клітинкових прямокутників існують класичні магічні квадрати. Наприклад, класичний магічний прямокутник, розміром 2x3, заповнений числами від 1 до 6 не існує, бо сума чисел 1+2+3+4+5+6=21, непарне число, а прямокутник має парну кількість рядків.  По рядкам не можна утворити однакову суму чисел, проте по стовбцям, така сума рівна 21:3 = 7.