Про магічні
квадрати та їх способи утворення.
Чи вірно, що у напівмагічному квадраті 3х3 існує 3
степені свободи?
Чи вірно, що кількість нормальних магічних квадратів
можна обчислити
за формулою, яка залежить від кількості степенів
свободи?
У нормальному магічному квадраті 3х3 центральний
елемент очевидно є середнім арифметичним всіх інших, дорівнює третині магічного
числа S/3=15. Задавши ще два будь-яких несиметричних елемента
магічного квадрату 3х3, легко відтворити весь квадрат. Отже, маємо дві степені
свободи, як і в загальному випадку кількість n2-2n-1,
де n2 – кількість невідомих чисел,
2n+1 кількість рівнянь лінійної системи.
n =
3, 32-2×3-1= 9 -7 = 2
n =
4, 42-2×4-1= 16 - 9 = 7
n =
5, 52-2×5-1= 25 - 11 = 14
Доброго дня,
Сергію!
В наданих тобою джерелах мене дивує одна річ. Автори здебільшого повідомляють про окремі результати, дуже рідко роблять узагальнення і ніколи не доводять своїх тверджень. Так, я зустрів декілька методів побудови магічних квадратів: метод терас, ходу коня, качелів: фактично це все модифікації одного метода: для деяких векторів a,b з цілими координатами будуються всі лінійні комбінаціі ai+bj; i,j=1..n. У клітинках з відповідними координатами (звісно, за модулем n) ставлять число i+(j-1)n. Хіба так важко дослідити, при яких умовах результат буде напівмагічним, магічним, асоціативним чи пандіагональним квадратом? Але ніхто цього не робить: кожен випадок розглядають окремо, тупо рахуючи всі суми. До того ж, можна було б узагальнити цей метод і справді довести, що існують магічні гіперкуби довільної розмірності.
Складається враження, що серйозні математики не цікавляться цією темою. Це цілком зрозуміло, бо магічні квадрати - така "річ у собі", яку важко до чогось притулити. Здається, мій "магічний фрактал" - перша спроба їх застосування у вищій математиці. Інша справа - латинські квадрати. Їх класифікація - обширна тема для наукової роботи. Вже перші результати, які я отримав, достатні для написання цікавої статті.
В наданих тобою джерелах мене дивує одна річ. Автори здебільшого повідомляють про окремі результати, дуже рідко роблять узагальнення і ніколи не доводять своїх тверджень. Так, я зустрів декілька методів побудови магічних квадратів: метод терас, ходу коня, качелів: фактично це все модифікації одного метода: для деяких векторів a,b з цілими координатами будуються всі лінійні комбінаціі ai+bj; i,j=1..n. У клітинках з відповідними координатами (звісно, за модулем n) ставлять число i+(j-1)n. Хіба так важко дослідити, при яких умовах результат буде напівмагічним, магічним, асоціативним чи пандіагональним квадратом? Але ніхто цього не робить: кожен випадок розглядають окремо, тупо рахуючи всі суми. До того ж, можна було б узагальнити цей метод і справді довести, що існують магічні гіперкуби довільної розмірності.
Складається враження, що серйозні математики не цікавляться цією темою. Це цілком зрозуміло, бо магічні квадрати - така "річ у собі", яку важко до чогось притулити. Здається, мій "магічний фрактал" - перша спроба їх застосування у вищій математиці. Інша справа - латинські квадрати. Їх класифікація - обширна тема для наукової роботи. Вже перші результати, які я отримав, достатні для написання цікавої статті.
Я не казав, що
вони еквівалентні, мається на увазі, способи утворення магічних квадратів. Але
вони дуже схожі, і я показав, як їх можна узагальнити. Довести треба, що
узагальнений метод діє у всіх модифікаціях; це підтвердить існуючі методи і
водночас покаже, як створити інші. В усьому цьому мене цікавить тільки
можливість довести існування магічних гіперкубів довільного порядку. Спробую це
зробити, але треба подумати.
Щодо класифікації - це дуже плідна тема. Ти мабуть знаєш, що теорема про класифікацію груп створювалася понад століття і її доведення чи не найдовше з усіх доведень. Поки я знайшов три інваріанти латинських квадратів як основу класифікації (група симетрій, кількість підквадратів і сигнатура), але їх може бути й більше.
Класифікацію кубів я також робив, але там така купа варіантів, що важко розібратися. Тому в статті поки про це не писав.
До того ж сигнатура для кубів не зводиться до трійки чисел, там все набагато складніше.
Доброго здоров′я, монах Порфирий
Дякую за інформацію про визначники ( так як визначник 360, то вектори магічного квадрату 3х3 мають (додатню)чи однакову орієнтацію, а власне число магічної матриці є магічною константою, а чи вірно це для всіх магічних квадратів? )та власні числа магічних квадратів. Отже, щоб перейти до жорданової форми магічного квадрату треба знайти додатково ще дві матриці, а чи не являються ці матриці - магічними квадратами?
А якщо розглядати магічний квадрат, як коефіцієнти квадратичної форми ? Що можна сказати про її властивості?
Може я щось забув, але мені здається, що матриця квадратичної форми має бути симетричною. Мабуть, краще розглянути білінійні форми.
У мене теж до тебе є питання, як спеціаліста по ДР. Чи існують системи рівнянь із стійкими біфуркаціями? Тобто, чи може існувати у фазовому просторі відкрита множина, в якій всюди щільно розташовані два (або більше) атрактори? Насправді це питання теорії катастроф. Воно виникло в мене у зв'язку із статтєю, в якій стверджується можливість біфуркацій у класичній фізиці. Але якщо відповідь на моє питання негативна, то ймовірність їх виникнення дорівнює нулю.
Коли ти плануєш бути в Києві?
Доброго здоровя, монах Порфирий
Дякую за інформацію про визначники ( так як визначник 360, то вектори магічного квадрату 3х3 мають (додатню)чи однакову орієнтацію, а власне число магічної матриці є магічною константою, а чи вірно це для всіх магічних квадратів? )та власні числа магічних квадратів. Отже, щоб перейти до жорданової форми магічного квадрату треба знайти додатково ще дві матриці, а чи не являються ці матриці - магічними квадратами?
А якщо розглядати магічний квадрат, як коефіцієнти квадратичної форми ? Що можна сказати про її властивості?
> Сергей Негода пишет:
> Доброго здоров'я, монах Порфирий.
>
> В мене до тебе таке запитання: Якщо розглядати магічні квадрати як
> квадратні матриці, то чи не задають вони якісь цікаві, "магічні"
> перетворення числових множин, просторів тощо? Можливо серед усіх
> матриць тільки магічні квадрати володіють чарівними властивостями.
>
> Я познаходив визначники деяких матриць - 3х3, всіх 4х4 і кілька тисяч з
> квадратів 5х5. Для двох матриць знайшов власні числа.
>
> Отже,
>
> |6 1 8|
>
> |3 5 7|=360
>
> |2 9 4|
>
> Власні числа: 15, ±2(6)1/2
>
> |1 15 14 4|
>
> |12 6 7 9|=0
>
> |8 10 11 5|
>
> |13 3 2 16|
>
> Власні числа: 0, 34, ±(140)1/2
>
> Визначники інших квадратів 4х4 набувають 11 різних значень.
>
> Можливих значень визначників квадратів 5х5 безліч, я навіть не став їх
> всі знаходити (хоча для комп'ютера це неважко).
>
> Також я довів, що визначник магічного квадрату завжди ділиться на
> магічне число.
>
> Але нічого "чарівного" в цьому поки не вбачаю.
Щодо класифікації - це дуже плідна тема. Ти мабуть знаєш, що теорема про класифікацію груп створювалася понад століття і її доведення чи не найдовше з усіх доведень. Поки я знайшов три інваріанти латинських квадратів як основу класифікації (група симетрій, кількість підквадратів і сигнатура), але їх може бути й більше.
Класифікацію кубів я також робив, але там така купа варіантів, що важко розібратися. Тому в статті поки про це не писав.
До того ж сигнатура для кубів не зводиться до трійки чисел, там все набагато складніше.
Сергей Негода пишет:
Доброго здоров′я, монах Порфирий
Дякую за інформацію про визначники ( так як визначник 360, то вектори магічного квадрату 3х3 мають (додатню)чи однакову орієнтацію, а власне число магічної матриці є магічною константою, а чи вірно це для всіх магічних квадратів? )та власні числа магічних квадратів. Отже, щоб перейти до жорданової форми магічного квадрату треба знайти додатково ще дві матриці, а чи не являються ці матриці - магічними квадратами?
Не зовсім так: магічна сума є власним числом матриці. Власних
чисел декілька, інші не є магічними сумами. Це я одразу сказав для всіх
квадратів, бо вектор (1;1;...1) є власним вектором такої матриці: він
відображається на (m; m; ... m), m - магічна сума. Також для всіх квадратів з цілих
чисел (не лише з послідовних від 1 до n2) визначник ділиться на m.
Підсумовуючи, можна сформулювати
Перший критерій магічності:
Квадрат nxn є магічним з константою m тоді і тільки тоді, коли виконуються наступні умови:
1а: Відповідна матриця відображає підмножину {x: x1+x2+...+xn=1} на підмножину {x: x1+x2+...+xn=m}
1б: ту саму властивість має транспонована матриця
2а: сума власних чисел відображення дорівнює m
2б: те саме для матриці, в якої рядки переставлені в зворотному порядку.
Для n>3 всі чотири умови необхідні; для n=3 остання умова випливає з трьох попередніх.
(це все доводиться дуже легко).
Матриці перетворення до ЖНФ не будуть магічними. Можеш перевірити для n=3.
Перший критерій магічності:
Квадрат nxn є магічним з константою m тоді і тільки тоді, коли виконуються наступні умови:
1а: Відповідна матриця відображає підмножину {x: x1+x2+...+xn=1} на підмножину {x: x1+x2+...+xn=m}
1б: ту саму властивість має транспонована матриця
2а: сума власних чисел відображення дорівнює m
2б: те саме для матриці, в якої рядки переставлені в зворотному порядку.
Для n>3 всі чотири умови необхідні; для n=3 остання умова випливає з трьох попередніх.
(це все доводиться дуже легко).
Матриці перетворення до ЖНФ не будуть магічними. Можеш перевірити для n=3.
А якщо розглядати магічний квадрат, як коефіцієнти квадратичної форми ? Що можна сказати про її властивості?
Може я щось забув, але мені здається, що матриця квадратичної форми має бути симетричною. Мабуть, краще розглянути білінійні форми.
У мене теж до тебе є питання, як спеціаліста по ДР. Чи існують системи рівнянь із стійкими біфуркаціями? Тобто, чи може існувати у фазовому просторі відкрита множина, в якій всюди щільно розташовані два (або більше) атрактори? Насправді це питання теорії катастроф. Воно виникло в мене у зв'язку із статтєю, в якій стверджується можливість біфуркацій у класичній фізиці. Але якщо відповідь на моє питання негативна, то ймовірність їх виникнення дорівнює нулю.
Коли ти плануєш бути в Києві?
Доброго здоровя, монах Порфирий
Дякую за інформацію про визначники ( так як визначник 360, то вектори магічного квадрату 3х3 мають (додатню)чи однакову орієнтацію, а власне число магічної матриці є магічною константою, а чи вірно це для всіх магічних квадратів? )та власні числа магічних квадратів. Отже, щоб перейти до жорданової форми магічного квадрату треба знайти додатково ще дві матриці, а чи не являються ці матриці - магічними квадратами?
А якщо розглядати магічний квадрат, як коефіцієнти квадратичної форми ? Що можна сказати про її властивості?
> Сергей Негода пишет:
> Доброго здоров'я, монах Порфирий.
>
> В мене до тебе таке запитання: Якщо розглядати магічні квадрати як
> квадратні матриці, то чи не задають вони якісь цікаві, "магічні"
> перетворення числових множин, просторів тощо? Можливо серед усіх
> матриць тільки магічні квадрати володіють чарівними властивостями.
>
> Я познаходив визначники деяких матриць - 3х3, всіх 4х4 і кілька тисяч з
> квадратів 5х5. Для двох матриць знайшов власні числа.
>
> Отже,
>
> |6 1 8|
>
> |3 5 7|=360
>
> |2 9 4|
>
> Власні числа: 15, ±2(6)1/2
>
> |1 15 14 4|
>
> |12 6 7 9|=0
>
> |8 10 11 5|
>
> |13 3 2 16|
>
> Власні числа: 0, 34, ±(140)1/2
>
> Визначники інших квадратів 4х4 набувають 11 різних значень.
>
> Можливих значень визначників квадратів 5х5 безліч, я навіть не став їх
> всі знаходити (хоча для комп'ютера це неважко).
>
> Також я довів, що визначник магічного квадрату завжди ділиться на
> магічне число.
>
> Але нічого "чарівного" в цьому поки не вбачаю.
Немає коментарів:
Дописати коментар